1. 참고링크 [Bottom] [Top]

• Euclidean_vector

• Matrix_%28mathematics%29

• Quaternion

• Trigonometric_functions

• Vector_space

• 3D_computer_graphics

• 3D_projection

• Texture_mapping

• Quaternions_and_spatial_rotation

2. 벡터(Vector) [Bottom] [Top]

일반적인 벡터의 개념은 n개의 실수(real number)들로 이루어진 튜플(tuple)을 말한다. 여기서 n은 일반적으로 차원을 나타낸다.

• V = (V₁, V₂, ... , V_n)

3D 그래픽에서는 3차원 벡터를 사용한다.

• V = (V₁, V₂, V₃) = (x, y, z)

2.1. 벡터의 성질 [Bottom] [Top]

<정리 1>

• 스칼라(scalar) a, b 와 벡터 P, Q, R 가 주어졌을 때

  1. P + Q = Q + P

  2. (P + Q) + R = P + (Q + R)

  3. (ab)P = a(bP)

  4. a(P + Q) = aP + aQ

  5. (a + b)P = aP +bP

벡터 V 의 크기(magnitude)는 스칼라 값이며 ||V|| 로 표기한다.

• | |V| | = sqrt( V₁² + V₂² + ... + V_n² )

따라서, 3차원 벡터의 크기는 다음과 같다.

• | |V| | = sqrt( x² + y² + z² )

단위벡터(unit vector) 는 벡터 V 에 1 / ||V|| 를 곱하여 변환한다. 이러한 과정을 정규화(normalization) 라고 한다.

• V = V * (1 / ||V||)

L = 1 / ||V|| 라고 한다면, 3차원 벡터의 정규화는

• V = (x * L, y * L, x * L)

<정리2>

• 스칼라 a 와 벡터 P, Q 가 주어졌을 때

  1. | |P| | ≥ 0

  2. P = (0, 0, ... , 0) 일 경우, ||P|| = 0

  3. | |aP| | = |a| ||P||

  4. | |P + Q| | ≤ ||P|| + ||Q||

2.2. 내적(Inner product) [Bottom] [Top]

내적은 inner product 또는 dot product 라고 하며 스칼라 곱이라고도 한다. 두 벡터의 내적은 두 벡터의 가리키는 방향의 차이를 구하는데 사용된다.

두 n차원 벡터 P 와 Q 의 내적은 P · Q 로 표시되며 다음과 같은 식으로 정의된다.

• P · Q = (P₁Q₁ + P₂Q₂ + ... + P_nQ_n)

3차원 벡터일 경우는 다음과 같다.

• P · Q = (P_xQ_x + P_yQ_y + P_zQ_z)

<정리3>

• 두 n차원 벡터 P 와 Q 가 주어졌을 때

  • P · Q = ||P|| ||Q|| cos α

  
  

  스칼라 a 와 벡터 P, Q, R 가 주어졌을 때

  1. P · Q = Q · P

  2. (aP) · Q = a(P · Q)

  3. P · (Q + R) = P · Q + P · R

  4. P · P = ||P||²

  5. |P · Q| ≤ ||P|| ||Q||

두 벡터 사이에서 서로 평행 또는 수직인 성분으로 분해해야 할 필요가 있을 경우 내적을 이용한다.

예를들어, 벡터 P를 벡터 Q 에 대하여 각 성분을 분해한다면 다음과 같다.

먼저, Q 와 평행한 성분의 벡터의 길이는 다음과 구한다.

• | |P| | cos α = (P · Q) / ||Q||

따라서 Q 에 대한 P 의 성분은 다음과 같다.

• 평행 성분: proj_QPa = ((P · Q) / ||Q||) Q

• 수직 성분: proj_QPb = P - proj_QPa = P - ((P · Q) / ||Q||) Q

2.3. 외적(Cross product) [Bottom] [Top]

외적은 cross product 또는 outer product 라고 하며 벡터 곱이라고도 한다. 두 3차원 벡터의 외적은 두 벡터에 대한 수직인 새로운 벡터를 구하는데 사용된다.

두 3차원 벡터 P 와 Q 의 외적은 P × Q 로 표시되며 다음과 같은 식으로 정의된다.

• P × Q = (P_yQ_z - P_zQ_y, P_zQ_x - P_xQ_z, P_xQ_y - P_yQ_x)

의사행렬식(pseudodeterminant)을 이용하여 다음과 같이 직접 계산할 수 있다.

여기서 i, j, k 는 각 x, y, z 축에 평행한 단위벡터이다.

• i = (1, 0, 0)

• j = (0, 1, 0)

• k = (0, 0, 1)

<정리4>

• 두 3차원 벡터 P 와 Q 가 주어졌을 때

  • | |P × Q| | = ||P|| ||Q|| sin α

  
  

  두 3차원 벡터 P 와 Q 에 대해, (P × Q) · P = 0 이며 (P × Q) · Q = 0 이다.

외적 P × Q 의 크기는 P 와 Q 에 의해 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같다.

예를들어, 꼭지점 V₁, V₂, V₃ 인 임의의 삼각형의 넓이 A 를 다음과 같이 구할 수 있다.

• A = (1/2) ||(V₂ - V₁) × (V₃ - V₁) ||

  

각각 양의 x, y, z 축을 가리키는 단위벡터 i, j, k 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• i × j = k

• j × k = i

• k × i = j

순서를 반대로 한다면 결과는 (-) 가 된다.

• j × i = -k

• k × j = -i

• i × k = -j

  

<정리 5>

• 스칼라 a, b 와 3차원 벡터 P, Q, R 가 주어졌을 때

  1. Q × P = -(P × Q)

  2. (aP) × Q = a(P × Q)

  3. P × (Q + R) = P × Q + P × R

  4. P × P = 0 = (0, 0, 0)

  5. (P × Q) · R = (R × P) · Q = (Q × R) · P

  6. P × (Q × P) = P × Q × P = P²Q - (P · Q)P

2.4. 법선(Normal vector) [Bottom] [Top]

3. 행렬(Matrix) [Bottom] [Top]

3.1. 행렬의 성질 [Bottom] [Top]

<정리 6>

• 스칼라 a, b 와 n*m 행렬 F, G, H 가 주어졌을 때

  1. F + G = G + F

  2. (F + G) + H = F + (G + H)

  3. a(bF) = (ab)F

  4. a(F + G) = aF + aG

  5. (a + b)F = aF + bF

  
  

  스칼라 a, b 와 n*m 행렬 F, m*p 행렬 G, p*q 행렬 H 가 주어졌을 때

  1. (aF)G = a(FG)

  2. (FG)H = F(GH)

  3. (FG)^T = G^TF^T

3.2. 역행렬 [Bottom] [Top]

3.3. 행렬식 [Bottom] [Top]

4. 변환(Transform) [Bottom] [Top]

• 이동
• 비례
• 회전

4.1. 동차좌표 (Homogeneous coordinates) [Bottom] [Top]

RHW (Reciprocal of Homogeneous W)

4.2. 사원수(Quaternion) [Bottom] [Top]

• 임의 축에 대한 회전 (Angular displacement)

  

5. 삼각함수(Trigonometric function) [Bottom] [Top]

• sin (Sine)
• cos (Cosine)
• tan (Tangent)
• csc (Cosecant)
• sec (Secant)
• cot (Cotangent)

Category3D

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